ボード線図

ノートの第一回の話題に選んだのは、ボード線図です。
板か何かのboardだと思っていたら、Bodeさんという人名だったようで。
つまり、人名がつくほど偉大な発明だったようです。

こんな単純な図の一体何が。

ボード線図の構成要素は、ゲイン曲線と位相曲線です。
複素数の絶対値と位相を周波数軸に対して、別々に書いたようなものです。

例を示します。
この関数が、なぜ積分系なのかは疑わないでください。
ラプラス変換のあれです。

絶対値と位相を計算します。
絶対値に関しては対数をとるところがボード線図のポイントです。
計算はどうでも良し。

グラフに書き表すとこんな感じになります。
この二つをセットにしてボード線図といいます。

1次系というこの関数についても同様にボード線図が書けます。

2つの図をセットにしているのは、ゲインが同じでも位相が違う場合があるからです。
この二つの関数の場合を例に挙げます。

ゲインは同じですが、位相が異なります。
つまり、別の特性を持つ関数であるということです。

なぜ、ボードさんの名前がつくほど偉大な発明だったのか。
それを考えていきます。

関数がいくつかの関数に分解される場合を考えます。
分解の仕方については後で書きます。

計算式はどうでも良くて、ポイントは最後がシグマになっていること。
つまり、和になっていることです。
ゲインについては対数をとりましたが、これは積を和にするためだったのです。

更に、逆関数のボード線図も簡単に書けます。
これも対数のおかげ。

この4つの関数のボード線図が描ければ、後は単純なグラフの足し算で済みます。

これは一例。
4つの関数に分割して、ここではゲインだけですが、それぞれのボード線図を書きます。
そして、それを足し合わせるだけで複雑な関数のボード線図も描けます。

グラフを対数にしただけで、こんな簡単になるということ。
これがボード線図の凄いところです。

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