有限要素法

有限要素法でヘルムホルツ方程式を解いてみます。

復習ですが、これがヘルムホルツ方程式。
変数自体と、その2階微分を含む微分方程式です。

簡単にするために、1次元に落としました。
3次元の有限要素法を説明しようと思ったら、それこそ本になります。

有限要素法に使うのは、「近似解」と「重み関数」です。
近似解が欲しくて有限要素法を使おうとしているのに、近似解を要求されるなんて。
それは何故か？

まず、微分方程式じゃなくて、ただの方程式の数値解析法を思い出してみます。
分からないなら、エクセルのゴールシークを想像します。
それも分からないなら、電卓だけで方程式を解く方法を想像してみます。

まず、解はこれくらいかなっていう「適当な数値」を方程式に代入してみます。
答えがぴったりゼロになれば、それは厳密に方程式の解です。
そうでなければ、違う数値を入れてみて計算を繰り返します。

ぴったりでなくとも、0.0001くらいになれば、十分に良い近似解と言えます。

同様に、微分方程式を解くときも、まず「適当な近似解」を用意します。
それを微分方程式に代入してみて、0に近い値になれば解と認められます。
そういうわけで、まずは「とりあえずの近似解」を準備するわけです。

ただ、色々な近似解を代入して試してみるわけではありません。
定数を含む近似解を作って、その定数を定めることで、解を見つけ出します。
「色々な」の部分を、色々な数値に変化できる「定数」に肩代わりさせる様なイメージ。

そして、その定数の定め方がこれ。

近似解に重み関数をかけて、領域積分し、ゼロと置く。
これを計算すると求めたい定数を含む方程式が得られます。
その方程式を解いて定数を定めれば解が得られる･･･というわけ。

さて、話は少し戻って、「重み付け残差法」の「残差」とは何か？
「とりあえずの近似解」を微分方程式に代入してみたらどうなるかといえば。

この式に限って、解u(x)が近似式であることを強調するために、ダッシュをつけています。

「とりあえずの近似解」が厳密解にぴったり一致していない限り、残差が残りますよね。
だから、残差です。

繰り返しになりますが、この残差を小さくするように、近似解中の定数を定めます。
その定め方は、重み関数をかけて、領域積分して、ゼロと置くことです。

これが重み付け残差法！