有限要素法でヘルムホルツ方程式が解けました。
前回得られた結果を再掲すると。
解の傾向は得られていますが、少し精度が低すぎる印象。
そこで、数値解の精度を向上させます。
少しずつ厳密解の形状に近づいていく様子を見てください。
精度を向上させる方法を二通り挙げます。
(1)分割数を上げる。
(2)高次要素を用いる。
手計算したのは、「2分割」で「1次要素」でした。
「1次要素」というのは、節点の間を直線で近似するということです。
今回は「1次要素」のところは変えずに、分割数を上げていきます。
有限要素法は手計算するには辛いので、今回はCOMSOLを使います。
微分方程式に関する情報や、境界条件を与えると、有限要素法で解を求めてくれます。
まず、2分割です。
中間節点の値は、手計算で1.3882･･･が得られました。
コンピュータに計算させても、ほぼ同じ値の1.388257が得られました。
4分割。
形状が、少し厳密解に近づきました。
中間節点の値も、1.40725と厳密解に近づきます。
でも、まだ1次要素のカクカクとした感じが残ります。
8分割。
中間節点の値は、1.41244です。
そろそろ形状に変化がなくなるので、値に注目していきます。
中間節点の値は、図中に「max」として記されています。
16分割。
中間節点の値は、1.413768。
32分割。
中間節点の値は、1.414102。
その誤差は8e-3%で、厳密解とほとんどぴったり重なります。
･･･といった具合に分割数を上げていくと数値解の精度が上がります。
次は、「高次要素を使う」という方法で精度を上げます。
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